‘మీరు పేకముక్కలు కలిపిన ప్రతిసారీ చరిత్రలో దాదాపు మళ్లీ జరగని పని చేసినట్లే’ అంటున్న గణిత శాస్త్రవేత్త.. ఆ లాజిక్ ఏంటి?

అంకెలు మనల్ని ఎప్పుడూ ఆశ్చర్యపరుస్తూనే ఉంటాయి. చాలా సాధారణంగా కనిపించే విషయాలు, వాటి వెనుక ఉన్న లెక్కలు చూసినప్పుడు అద్భుతంగా అనిపిస్తాయి. పేకముక్కలు కలపడం కూడా అలాంటిదే.

"మీరు 52 కార్డులను కలిపిన ప్రతిసారీ అంతకు ముందు చూడని క్రమం వచ్చే అవకాశం చాలా ఎక్కువని చాలా మందికి తెలుసు" అని హాస్యనటుడు, ప్రముఖ గణితశాస్త్రవేత్త మ్యాట్ పార్కర్ తన 'ఏ ప్రాబ్లమ్ స్క్వేర్డ్' పోడ్‌కాస్ట్‌‌లో వివరించారు.

"52 పేక ముక్కలను చాలా రకాలుగా అమర్చవచ్చు. అందుకే మీరు షఫుల్ చేసిన తర్వాత వచ్చిన క్రమం వేరొకరికి రావడం దాదాపు అసాధ్యం" అని ఆయన అన్నారు.

ఇది నిజమేనా? కేవలం 52 పేకముక్కలను కలిపిన ప్రతిసారీ ఒక కొత్త క్రమం వస్తుందా?

దీనిపై సందేహం రావడంతో నిరూపించాలని ఆయన్ని మేం చాలెంజ్ చేశాం.

"నేను ఆ మాట అన్నప్పుడు అది ఎంత పెద్ద మాటో నాకు తెలియదు. కానీ ఇప్పుడు అది నిజమని నిరూపించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నా" అని ఆయన సమాధానం ఇచ్చారు. సవాల్‌ను స్వీకరించారు.

ఆయన పేకముక్కల కట్ట (52 కార్డులను కలిపి డెక్ అంటారు)తో వచ్చారు. "కార్డుల అమరిక పూర్తిగా కలగలిసిపోయింది" అని చెప్పగలిగే వరకు వాటిని చాలాసార్లు కలిపారు.

"ఇప్పుడు కనిపిస్తున్న విధంగా ప్రపంచంలో ఎవరూ ఇలాంటి క్రమంలో పేకముక్కలను షఫుల్ చేసి ఉండరు. ఇప్పుడు ఇది పూర్తిగా కొత్త క్రమం" అని ఆయన చెప్పారు.

ఆయనకు అంత నమ్మకం ఏంటి?

"ఒక పేక ముక్కల దస్తాను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చో తెలుసుకోవాలంటే, గణితశాస్త్రంలోని కాంబినేటోరిక్స్ గురించి తెలుసుకోవాలి. ఇది వస్తువులను ఎన్ని విధాలుగా కలపవచ్చు, లేదా అమర్చవచ్చు అనే విషయాన్ని అన్నది చెబుతుంది"

"పేక ముక్కలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చో లెక్కించాలంటే, ఫ్యాక్టోరియల్ అనే గణిత పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు. ఫ్యాక్టోరియల్ సంఖ్యల చివరన ఆశ్చర్యార్థకం గుర్తు(!) ఉంటుంది. ఆ గుర్తు వాటికి బాగా సరిపోతుంది. ఎందుకంటే ఫ్యాక్టోరియల్ ద్వారా వచ్చే సంఖ్యలు నిజంగా ఆశ్చర్యపరిచేంత పెద్దవిగా ఉంటాయి"

నిజానికి, ఫ్యాక్టోరియల్‌తో వచ్చే సంఖ్యలతో పోలిస్తే సాధారణ ఘాతాలు (పవర్స్) కూడా చిన్నవిగానే కనిపిస్తాయి.

"అవును, ఫ్యాక్టోరియల్ లెక్కలు చాలా వేగంగా పెరిగి భారీ సంఖ్యలకు చేరుకుంటాయి. ఆశ్చర్యకరంగా, ఈ భారీ సంఖ్యలు పేకముక్కలను కలపడంలాంటి చాలా చిన్న, సులభమైన విషయాల్లో దాగి ఉంటాయి"

ఇప్పుడు మళ్లీ అసలు విషయానికి వద్దాం. పేక ముక్కలను షఫుల్ చేయడం చాలా చిన్న విషయంగానే కనిపిస్తుంది. కానీ ప్రతిసారీ షఫుల్ (కలిపినప్పుడు) చేసినప్పుడు ఇంతకు ముందు ఎప్పుడూ లేని కొత్త క్రమం ఎలా ఏర్పడుతుందో చూద్దాం.

52!!!!

ఒక పేక దస్తాలో 52 కార్డులు ఉంటాయి. ఫ్యాక్టోరియల్ ఎంత పెద్ద సంఖ్యలకు తీసుకెళ్తుందో అర్థం చేసుకునే ముందు అందులోని 13 డైమండ్ కార్డులను మాత్రమే ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చో లెక్కిద్దామని మ్యాట్ సూచించారు.

ఇప్పుడు ఈ 13 కార్డులను మనమే ఒక క్రమంలో అమర్చుతున్నామని అనుకుందాం. మొదటి స్థానంలో పెట్టడానికి 13 కార్డుల్లో ఏదో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఒక కార్డును ఎంచుకున్నాక, మిగిలేది 12 కార్డులే. రెండో స్థానానికి వాటిలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవాలి. తర్వాత 11 కార్డులు మిగులుతాయి. ఇలా ఒక్కో స్థానానికి ఒక్కో కార్డును ఎంచుకుంటూ చివరి వరకు వెళ్తాం.

మీరు కార్డులను ఒక క్రమంలో పేర్చారు అనుకుందాం. మొదట ఏ కార్డునైనా ఎంచుకోవచ్చు. తర్వాతి స్థానానికి కూడా చాలా ఆప్షన్లు ఉంటాయి. ఇలా ప్రతి అడుగులో మీకు అనేక అవకాశాలు ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, క్వీన్ తర్వాత కింగ్ పెట్టవచ్చు, లేదా ఏస్ పెట్టొచ్చు, లేదా 7 పెట్టొచ్చు. అందువల్ల మీరు చేసిన క్రమం అనేక సాధ్యమైన క్రమాల్లో కేవలం ఒకటి మాత్రమే. మరి మొత్తం ఇలాంటి క్రమాలు ఎన్ని ఉండొచ్చు?

మొత్తం ఎన్ని అంటే 13!

13! అని చెప్పడం మాత్రమే వినడానికి పెద్దగా అర్థం కాకపోవచ్చు, కానీ దాని అర్థం 13ను 12తో గుణించి వచ్చిన ఫలితాన్ని 11తో, తర్వాత 10తో.... ఇలా 1వరకు గుణించడం.

13 నుంచి 1 వరకు సంఖ్యలను గుణిస్తూ వెళ్తే, ఫలితం ఎంత వేగంగా పెరుగుతుందో చూసి ఆశ్చర్యపోతారు. మొదట చిన్న సంఖ్యగా మొదలై, కొద్దిసేపట్లోనే వందలు, వేలలు, లక్షలు,కోట్లు, దాటిపోతుంది.

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

6 x 4 = 24

24 x 5 = 120

120 x 6 = 720

720 x 7 = 5,040

5,040 x 8 = 40,320

40,320 x 9 = 362,880

362,880 x 10 = 3,628,800

3,628,800 x 11 = 39,916,800

39,916,800 x 12 = 479,001,600

479,001,600 x 13 = 6,227,020,800

ఇవి భారీగా కనిపించడమే కాదు, ముందుకు వెళ్లే కొద్దీ అవి మరింత వేగంగా పెరుగుతాయి. అందుకే ఫ్యాక్టోరియల్ సంఖ్యలు ఊహించలేనంత పెద్దవిగా మారతాయి.

ఇప్పుడు 52 పేక ముక్కలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చో లెక్కిస్తే వచ్చే సంఖ్య భారీగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ట్రిలియన్‌లు, క్వాడ్రిలియన్‌లు, క్వింటిలియన్‌లు వంటి పెద్ద సంఖ్యల పేర్లు కూడా సరిపోవు.

సులభంగా చెప్పాలంటే, 52! విలువ దాదాపు 8 తర్వాత 67 అంకెలు వచ్చేంత పెద్ద సంఖ్య. అంటే 52 కార్డులను అమర్చే అవకాశాలు ఊహించలేనంత ఎక్కువ.

52!=80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000

52 కార్డులను అమర్చడానికి ఉన్న అవకాశాల సంఖ్య చాలా పెద్దదే. కానీ అది ఒక్కటే మ్యాట్ చెప్పింది నిజమని నిరూపిస్తుందా?

"అవును, మీరు చెప్పింది నిజమే. కార్డులను అమర్చడానికి చాలా అవకాశాలు ఉండటం ఒక విషయం. కానీ మనకు అసలు ఆసక్తి ఉన్న విషయం ఏమిటంటే, రెండు వేర్వేరు షఫుల్స్‌లో ఎప్పుడైనా పూర్తిగా ఒకే కార్డుల క్రమం వచ్చిందా లేదా అనేది" అని గణితశాస్త్రవేత్త అన్నారు.

"అది నిజమా కాదా అని తెలుసుకోవాలంటే, మనం ఇప్పుడు షఫుల్ చేసిన కార్డుల క్రమాన్ని గతంలో చేసిన షఫుల్ క్రమాలతో పోల్చి చూడాలి" అని ఆయన తెలిపారు.

ప్రపంచంలో ఇప్పటి వరకు ఎప్పుడెప్పుడు పేకముక్కలను షఫుల్ చేశారో వాటి వివరాలన్నీ మన దగ్గర లేవు. అందుకే రెండు షఫుల్స్‌లో ఒకే కార్డుల క్రమం వచ్చిందా లేదా అని పరీక్షించడం వాస్తవానికి సాధ్యం కాదు.

ఇవన్నీ చూసిన తర్వాత కూడా, రెండుసార్లు ఒకే కార్డుల క్రమం వచ్చి ఉండే అవకాశం చాలా తక్కువని, ఇప్పటి వరకు అలాంటిది జరిగి ఉండదని మ్యాట్ వాదిస్తున్నారు.

అలా ఎప్పుడూ జరగలేదని కచ్చితంగా చెప్పలేం, కానీ

పేక ముక్కలను షఫుల్ చేసిన ప్రతిసారీ కార్డులు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో వస్తాయి. ఆ క్రమం గతంలో ఎప్పుడో వచ్చిన క్రమంతో సరిపోవచ్చు కూడా, కానీ అలాంటి అవకాశం చాలా చాలా తక్కువ.

"ఒకే కార్డుల క్రమం మళ్లీ ఏర్పడే అవకాశాలు ఉన్నాయనేది నిజం. కానీ 52 కార్డులను అమర్చే సాధ్యమైన క్రమాల సంఖ్య అపారంగా ఉండటంతో, రెండు షఫుల్స్‌లో ఒకే క్రమం రావడం అరుదైన విషయం" అని మ్యాట్ చెబుతున్నారు.

" 100 కోట్ల మంది ప్రతి సెకనుకు ఒకసారి పేకముక్కలను షఫుల్ చేస్తూ, కార్డులు కనిపెట్టిన కాలం నుంచి ఇప్పటి వరకు అలా చేస్తూనే ఉన్నారని ఊహించండి. అయినా కూడా ఆ రెండు షఫుల్స్‌లో ఒకే కార్డుల క్రమం రావడానికి ఉన్న అవకాశం చాలా చాలా తక్కువగానే(4X1026) ఉంటుంది.

" ఇది ఊహించలేనంత పెద్ద సంఖ్య కానీ, ఆ అవకాశం అసలు లేదని మాత్రం చెప్పలేం" అని అన్నారు"

"ఒకే కార్డుల అమరిక రెండుసార్లు రాలేదని చెప్పినప్పుడు కొందరు వ్యతిరేకించవచ్చు. కానీ ఆ అవకాశం పూర్తిగా లేదు అనే విషయంపై దృష్టి పెడతారు" అని చెబుతున్నారు.

"నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఆ అవకాశం సున్నాతో సమానమే. గణితపరంగా చూస్తే అది పూర్తిగా సున్నా కాకపోయినా, నిజ జీవితంలో మాత్రం అది సున్నాలాగనే భావించవచ్చు. అయితే, దాన్ని చెప్పడానికి ఇంకా జాగ్రత్తగా మాట్లాడే విధానం ఉండొచ్చు" అని మ్యాట్ చెప్పారు.

"దాదాపు సున్నా అనే అవకాశాలకు కూడా వేర్వేరు స్థాయిలు ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, ఒక లక్షలో ఒక అవకాశం ఉంటే అది జరగవచ్చు. ఎందుకంటే ప్రపంచంలో కోట్లాది మంది ఉన్నారు"అని తెలిపారు.

"ఒక బిలియన్‌లో ఒకటి, ట్రిలియన్‌లో ఒకటి అనే స్థాయికి అవకాశం తగ్గిపోయినప్పుడు, అది జరగడానికి అవసరమైనంత అవకాశాలే ఉండవు" అని మ్యాట్ వెల్లడించారు.

"అది అసలు జరగదు అని చాలా మంది చెప్పినా, నిజంగా అలాంటి అరుదైన ఘటనలు ఎంత వరకు జరిగే అవకాశం ఉంటుందో తెలుసుకోవడానికి మ్యాట్ కొన్ని ప్రయోగాలు చేశారు. అందులో ఒకటి, నాణెం ఎగరేయడం"

"నేను ఒక నాణేన్ని 10,000 సార్లు ఎగరేశాను. బొమ్మ లేదా బొరుసు కాకుండా, నాణెం అంచుపైనే నిలబడే సందర్భాలు ఎన్ని వస్తాయో చూడాలనుకున్నాను. ఆశ్చర్యకరంగా అది 14సార్లు జరిగింది" అని ఆయన చెప్పారు.

"అప్పుడు నేను ఇలా అనుకున్నాను... ఇది చాలా అరుదుగా జరిగే విషయం. కానీ అసాధ్యం మాత్రం కాదు, జరిగే అవకాశాల పరిధిలోనే ఉంది" అని మ్యాట్ చెప్పారు.

"అరుదైన ఘటనలు ఎలా జరుగుతాయో పరీక్షించడం మొదలు పెడితే 1000లో ఒక అవకాశం. 10,000లో ఒక అవకాశం 100,000లో ఒక అవకాశం మధ్య ఎంత పెద్ద తేడా ఉందో అర్థమవుతుంది. అరుదైన అవకాశాలను పరిశీలిస్తూ ఉంటే, కొన్ని రోజువారీ జీవితంలో కనిపించవచ్చు, మరికొన్ని సంవత్సరాలకు ఒకసారి మాత్రమే జరుగుతాయి. ఇంకొన్ని జీవితకాలంలో ఒకసారి కూడా కనిపించకపోవచ్చని తెలుస్తుంది" అని మ్యాట్ చెప్పారు.

"ఏదైనా ఘటన జరిగే అవకాశం 100 కోట్లలో ఒకటే ఉంటే, ఒక సాధారణ మనిషి జీవితకాలంలో అలాంటి ఘటనను చూసే అవకాశం దాదాపు ఉండదు" అని అన్నారు.

"ఒక ఘటన జరిగే అవకాశం 20 అంకెల కన్నా ఎక్కువ ఉన్న సంఖ్యలో ఒకటిగా ఉంటే, ప్రపంచంలో ఎంత మంది మనుషులు ఉన్నా, ఎన్ని గ్రహాలు లేదా గెలాక్సీలు ఉన్నా ప్రయోజనం లేదు. ఆ ఘటన జరిగే అవకాశం అంత చిన్నదిగా ఉంటుంది. కాబట్టి ఆచరణలో దాన్ని సున్నాగానే భావించవచ్చు" అని మ్యాట్ తెలిపారు.

(బీబీసీ కోసం కలెక్టివ్ న్యూస్‌రూమ్ ప్రచురణ)

(బీబీసీ తెలుగును వాట్సాప్‌,  ఫేస్‌బుక్, ఇన్‌స్టాగ్రామ్‌, ట్విటర్‌లో ఫాలో అవ్వండి. యూట్యూబ్‌లో సబ్‌స్క్రైబ్ చేయండి.)